Logika Matematika
Buat yang serius di bulan puasa
ada makanan enak nih
tinggal dinikmati
selamat mencoba
BAB II
PEMBELAJARAN
A.
Pernyataan
, kalimat terbuka, dan ingkaran pernyataan.
1.
Pernyataan
Pernyataan adalah kalimat yang mengandung
nilai benar atau salah tetapi tidak sekaligus kedua-duanya.
Contoh :
a.
Hasil
kali 5 dan 4 adalah 20
b.
Semua
unggas dapat terbang
c.
Ada
bilangan prima yang genap
Contoh a dan c adalah pernyataan yang
bernilai benar, sedangkan b penyataan yang bernilai salah.
Contoh
kalimat yang bukan pernyataan :
a.
Semoga
nanti engkau naik kelas
b.
Tolong
tutupkan pintu itu
c.
Apakah
ali sudah makan ?
Suatu
pernyataan dinotasikan dengan huruf kecil seperti p, q, r dsb.
Misalnya
:
P
: Semua bilangan prima adalah ganjil
q
: Jakarta ibukota Indonesia
Ada
2 dasar untuk menentukan nilai kebenaran suatun pernyataan yaitu :
a.
Dasar
empiris : jka nilai kebenaran ditentukan dengan pengamatan pada saat tertentu.
Contoh
:
*
Rambut adik panjang
*
Besok pagi cuaca cerah
b.
Dasar tidak empiris : jka nilai kebenaran ditentukan menurut kaidah atau hukum
tertentu. Jadi nilai mutlak tidak terikat oleh waktu dan tempat.
Contoh :
* Jumlah sudut dalam segitiga adalah 1800
* Tugu muda terletak di kota Semarang
Tugas
I
Diantara
kalimat berikut manakah yang merupakan pernyataan, jika pernyataan tentukan
nilai kebenarannya.
1.
Salah
satu faktor prima dari 36 adalah 6
2.
Jajar
genjang adalah segi empat yang sisinya sama panjang
3.
Bolehkah
aku main ke rumahmu ?
4.
x
merupakan bilangan prima
5.
Tahun
2006 merupakan tahun kabisat
2.
Kalimat
terbuka
Kalimat
terbuka adalah kalimat yang belum dapat ditentukan nilai kebenaraanya. Ciri
dasar kalimat terbuka adalah adanya peubah atau variabel.
Contoh
:
a.
2x
+ 3 = 9
b.
5
+ n adalah bilangan prima
c.
Kota
A adalah ibukota provinsi jawa tengah
3.
Ingkaran
dari pernyataan
Ingkaran
atau negasi dari suatu pernyataan adalah pernyataan yang mengingkari pernyataan
semula.
Ingkaran
dari pernyataan p dinotasikan ~ p dibaca “ bukan p” atau “tidak p”.
Tabel
kebenarannya sbb :
p
|
~ p
|
B
|
S
|
S
|
B
|
Contoh
:
a.
p : Ayah pergi ke pasar
~
p : Ayah tidak pergi ke pasar
b.
q : 2 + 5 < 10
~ q
: 2 + 5 
10
10
Tugas
II
Tentukan
ingkaran / negasi dari pernyataan berikut :
1.
17
adalah bilangan prima
2.
3
adalah faktor dari 38
3.
5
x 12 > 40
4.
Adikku
pandai bermain gitar
5.
Diagonal
ruang kubus ada 4 buah.
B.
Pernyataan
berkuantor
Pernyataan
berkuantor adalah pernyataan yang mengandung ukuran kuantitas
1.
Kuantor
Universal
Dalam
pernytaan kuantor universal terdapat ungkapan yang menyatakan semua, setiap.
Kuantor universal dilambangkan dengan 
(dibaca untuk semua atau untuk setiap)
(dibaca untuk semua atau untuk setiap)
Contoh
:
* x 
R, x2
> 0, dibaca untuk setiap x anggota
bilangan Real maka berlaku x2 > 0.
x R, x2
> 0, dibaca untuk setiap x anggota
bilangan Real maka berlaku x2 > 0.
* Semua ikan bernafas dengan insang.
2. Kuantor Eksistensial
Dalam
pernyataan berkuantor eksistensial terdapat ungkapan yang menyatakan ada,
beberapa, sebagian, terdapat. Kuantor Eksistensial dinotasikan dengan 
( dibaca ada,
beberapa, terdapat, sebagian)
( dibaca ada,
beberapa, terdapat, sebagian)
Contoh
:
* x R, x2
+ 3x – 10 < 0, dibaca ada x anggota bilangan real dimana x2 + 3x
– 10 < 0
x R, x2
+ 3x – 10 < 0, dibaca ada x anggota bilangan real dimana x2 + 3x
– 10 < 0
* Beberapa ikan
bernafas dengan paru-paru
Ingkaran
dari pernyataan berkuantor
Ingkaran
dari pernyataan universal adalah kuantor eksistensial dan sebaliknya ingkaran
dari pernyataan berkuantor eksistensial adalah kuantor universal.
Contoh
:
a.
p :
Semua ikan bernafas dengan insang
~ p
: Ada ikan bernafas tidak dengan insang
: Terdapat ikan bernafas dengan paru-paru
: Tidak semua ikan bernafas dengan insang
b. q
: Beberapa siswa SMA malas belajar
~ q
: Semua siswa SMA tidak malas belajar
Tugas
III
Tentukan
ingkaran pernyataan berikut :
1.
Setiap
bilangan prima merupakan bilangan ganjil
2.
x
R ; x2
+ 5x – 6 = 0
x
R ; x2
+ 5x – 6 = 0
3.
x R ; x2
+ 4x – 5 > 0
x R ; x2
+ 4x – 5 > 0
4.
Ada
siswa yang tidak menyenangi pelajaran matematika
5.
Semua
segitiga jumlah sudutnya 1800
C.
Pernyataan
Majemuk
Pernyataan
majemuk adalah gabungan dari beberapa pernyataan tunggal yang dihubungkan
dengan kata hubung.
Ada
4 macam pernyataan majemuk :
1.
Konjungsi
Konjungsi
adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung “dan”. Konjungsi dari pernyataan p
dan q dinotasikan dengan 
yang dibaca p
dan q
yang dibaca p
dan q
Tabel kebenarannya :
p
|
q
|
|
B
|
B
|
B
|
B
|
S
|
S
|
S
|
B
|
S
|
S
|
S
|
S
|
Dari
tabel tersebut tampak bahwa konjungsi selalu bernilai benar jika kedua
pernyataan bernilai benar.
Contoh
:
p : 34
= 51 bernilai salah
q : 2 + 5 = 7 bernilai benar
: 34 = 51 dan 2 + 5 = 7 bernilai salah
2.
Disjungsi
Disjungsi
adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung atau.
Disjungsi
dari pernyataan p dan q dinotasikan
dan dibaca p atau q
dan dibaca p atau q
Tabel kebenarannya :
p
|
q
|
|
B
|
B
|
B
|
B
|
S
|
B
|
S
|
B
|
B
|
S
|
S
|
S
|
Dari
tabel tampak bahwa disjungsi hanya bernilai salah jika kedua pernyataan
bernilai salah.
Contoh
:
P :
jumlah dari 2 dan 5 adalah 7
(pernyataan bernilai benar)
q :
Tugu pahlawan terletak di Jakarta (pernyataan bernilai salah)
: Jumlah dari 2 dan 5 adalah 7 atau Tugu
pahlawan terletak di Jakarta (pernyataan
bernilai benar)
Tugas
IV
1.
Tentukan
nilai kebenaran dari pernyataan berikut :
a.
2
+ 1 = 3 dan 2 adalah
bilangan prima
+ 1 = 3 dan 2 adalah
bilangan prima
b.
37
adalah bilangan prima dan ada bilangan prima yang genap
c.
Semua
unggas dapat terbang atau grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola
d.
Log
5 merupakan bilangan irasional atau 3 + 5 = 8
2.
Jika
p : Adik naik kelas
q : Adik dibelikan sepeda motor
Nyatakan dengan pernyataan majemuk :
a.
p
q
q
b.
p
q
q
c.
~
p q
q
d.
~
(p q)
q)
3.
Buatlah
tabel kebenaran dari :
a.
(pq) v (~pq)
q) v (~pq)
b.
[~(p
v q) ] q
q
4.
Implikasi
Implikasi
adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung “jika .... maka .......”
Implikasi
dari pernyataan p dan q dinotasikan dengan p 
q yang dibaca
“jika p maka q” atau “p jika hanya jika q” atau “p syarat perlu bagi q” atau “q
syarat cukup bagi p”
q yang dibaca
“jika p maka q” atau “p jika hanya jika q” atau “p syarat perlu bagi q” atau “q
syarat cukup bagi p”
Dari
implikasi p q, p disebut
anteseden atau sebab atau hipotesa
q, p disebut
anteseden atau sebab atau hipotesa
q
disebut konsekuen atau kesimpulan atau konklusi.
Tabel kebenarannya :
p
|
q
|
 |
B
|
B
|
B
|
B
|
S
|
S
|
S
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
Dari
tabel tersebut, tampak bahwa implikasi selalu bernilai salah jika sebabnya
benar dan akibatnya salah.
Contoh
:
P
: 5 + 4 = 7
(pernyataan salah)
q
: Indonesia di benua eropa (pernyatan
salah)
p q : Jika 5 + 4
= 7 maka Indonesia di benua eropa (pernyataan benar)
q : Jika 5 + 4
= 7 maka Indonesia di benua eropa (pernyataan benar)
5. Biimplikasi
Biimplikasi
adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung “.......jika dan hanya
jika............” dan dilambangkan 
.
.
Biimplikasi
dari pernyataan p dan q ditulis p q yang dibaca p
jika dan hanya jika q atau jika p maka q dan jika q maka p.
q yang dibaca p
jika dan hanya jika q atau jika p maka q dan jika q maka p.
Tabel kebenarannya :
p
|
Q
|
 |
B
|
B
|
B
|
B
|
S
|
S
|
S
|
B
|
S
|
S
|
S
|
B
|
Dari
tabel kebenaran tersebut, tampak bahwa biimplikasi akan bernilai benar jika
sebab dan akibatnya bernilai sama.
Contoh
:
p
: 3 + 10 =14 (pernyataan
salah)
q
: Persegi adalah segitiga (pernyataan salah)
p q : 3 + 10 = 14 jika dan hanya jika persegi
adalah segitiga (pernyataan salah)
q : 3 + 10 = 14 jika dan hanya jika persegi
adalah segitiga (pernyataan salah)
Tugas V
1.
Tentukan
nilai kebenaran pernyataan berikut :
a.
Jika
besi termasuk benda padat maka 3 + 5 = 9
b.
Jika
cos 30 = 0,5 maka sin 60 = 0,5
c.
Tugu
nuda terletak di Surabaya jika dan hanya jika Tugu muda terletak di Semarang.
d.
> 2 jika dan hanya jika 33 bilangan prima
> 2 jika dan hanya jika 33 bilangan prima
2.
Jika
p : Adi menyenangi boneka
q : 5 + 3 < 10
Nyatakan dalam bentuk pernyataan :
a.
p
q
q
b.
p
q
q
c.
~
p q
q
d.
p
~ q
~ q
3.
Buatlah
tabel kebenaran :
a.
(p
q) ( p ~ q)
q) ( p ~ q)
b.
(~
p q) ( p q)
q) ( p q)
D. Konvers, Invers, dan
Kontraposisi
Dari
implikasi p q dapat
dibentuk implikasi baru :
q dapat
dibentuk implikasi baru :
1.
q
p disebut konvers dari implikasi semula
p disebut konvers dari implikasi semula
2.
~
p ~ q disebut
invers dari implikasi semula
~ q disebut
invers dari implikasi semula
3.
~
q ~ p disebut
kontraposisi dari implikasi semula
~ p disebut
kontraposisi dari implikasi semula
Contoh
:
p
: Tia penyanyi
q
: Tia seniman
implikasi
p q : Jika Tia penyanyi maka Tia seniman
q : Jika Tia penyanyi maka Tia seniman
Konvers q p : Jika Tia seniman maka Tia penyanyi
p : Jika Tia seniman maka Tia penyanyi
Invers
~ p ~ q : Jika Tia
bukan penyanyi maka Tia bukan seniman
~ q : Jika Tia
bukan penyanyi maka Tia bukan seniman
Kontraposisi ~ q ~ p : Jika Tia
bukan seniman maka Tia bukan penyanyi
~ p : Jika Tia
bukan seniman maka Tia bukan penyanyi
E. PERNYATAAN MAJEMUK YANG
EKUIVALEN
Dua
pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen jika untuk semua kemungkinan nilai
kebenaran komponen-komponennya, pernyataan majemuk itu mempunyai nilai
kebenaran yang sama. Lambang ekuivalen adalah 
Contoh
: Buktikan bahwa: p q (p q) (q p)
q (p q) (q p)
Dengan tabel kebenaran dapat
dilihat sebagai berikut :
p
|
q
|
p
q |
p
q |
q
p |
(p
q) (q p) |
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
S
|
S
|
S
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
B
|
S
|
S
|
S
|
S
|
 B |
B
|
B
|
B
|
Ekuivalen
F. NEGASI DARI PERNYATAAN MAJEMUK
1.
~ (p q) ~ p v ~ q
q) ~ p v ~ q
2.
~ (p v q) ~ p ~ q
~ p ~ q
3.
~ (p q) p ~ q
q) p ~ q
4.
~ (p q) (p ~ q) v (q ~ p)
q) (p ~ q) v (q ~ p)
Contoh
:
1.
Negasi
dari 5 + 2 = 8 dan adik naik kelas adalah 5 + 2 
8 atau adik
tidak naik kelas
8 atau adik
tidak naik kelas
2.
Negasi
dari jika adik belajar maka ia pandai adalah adik belajar dan ia tidak pandai
G.
TAUTOLOGI
DAN KONTRADIKSI
Tautologi
adalah pernyataan majemuk yang selalu bernilai benar untuk semua kemungkinan
nilai kebenaran komponen-komponennya.
Kontradiksi
adalah pernyataan majemuk yang selalu bernilai salah untuk semua kemungkinan
nilai kebenaran komponen-komponennya.
Contoh
:
Buktikan dengan tabel
kebenaran (p~q) ~(pq)
~q) ~(pq)
p
|
q
|
~q
|
p
~q |
p
q |
~(p
q) |
(p
~q)~(p q) |
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
B
|
B
|
S
|
B
|
B
|
S
|
B
|
B
|
S
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
B
|
S
|
B
|
TUGAS VI
1.
Tentukan
konvers, invers, dan kontraposisi dari implikasi berikut :
a.
Jika
hujan maka jalan basah
b.
Jika
skit maka Ani ke sekolah
c.
Jika
x = 2 maka 
> 1
> 1
2.
Buktikan
dengan tabel kebenaran bahwa :
[p
v (q r)] [(p v q) (p v r)]
r)] [(p v q) (p v r)]
3. Tentukan negasi dari pernyataan berikut :
a. Harga mobil mahal atau Sungai Brantas di
jawa Tengah
b. Segitiga ABC siku-siku jika dan hanya
jika salah satu sudutnya 900
c. p v (q r)
r)
d. p (q r)
(q r)
4. Tentukan dengan tabel kebenaran
pernyataan berikut yang merupakan tautologi dan kontradiksi
a.
(p q) (p v q)
q) (p v q)
b.
(p ~q) (~p ~q)
~q) (~p ~q)
H.
PENARIKAN
KESIMPULAN
Argumen
adalah serangkaian pernyataan yang mempunyai ungkapan penarikan kesimpulan.
Suatu argumen terdiri dari 2 kelompok pernyataan yaitu kelompok premis dan
kelompok konklusi.
Contoh
:
Premis
1 : Jika adik rajin belajar maka naik kelas
Premis
2 : Jika adik naik kelas maka Ibu senang
Premis
3 : Adik rajin belajar
 |
Konklusi
: Ibu senang
Suatu
argumen dikatakan sah atau valid jika untuk semua kemungkinan nilai kebenaran
premis-premisnya mendapatkan konklusi yang benar pula.
Ada
3 dasar penarikan kesimpulan yaitu :
1.
Modus
Ponens
Kerangka
penarikan modus ponens sebagai berikut :
Premis
1 : p q
q
Premis
2 : p
 |
Konklusi
: q
Dengan tabel kebenaran dapat dilihat
sebagai berikut :
 p |
 q |
 |
B
|
B
|
B
|
B
|
S
|
S
|
S
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
Pada tabel kebenaran tersebut,
premis-premis yang bernilai benar diberi tanda , ternyata mendapatkan konklusi yang
diberi tanda
Juga
benar, sehingga penarikan kesimpulan dengan menggunakan modus ponens dikatakan
sah atau valid.
2.
Modus
Tollens
Kerangka
penarikan kesimpulan dengan dasar modus tollens sbb :
Premis
1 : p q
q
Premis
2 : ~ q
 |
Konklusi
: ~ p
Dengan tabel kebenaran dapat dilihat sebagai berikut :
p
|
q
|
~p
|
~q
|
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
S
|
B
|
 B |
 S |
 B |
S
|
S
|
B
|
B
|
B
|
Berdasarkan
tabel tersebut, penarikan kesimpulan dengan metode modus tollens dikatakan sah.
3.
Silogisme
Kerangka
penarikan kesimpulan dengan metode silogisme sbb :
Premis
1 : p q
q
Premis
2 : q r
r |
Konklusi
: p r
r
Dengan tabel kebenaran dapat
dilihat sebagai berikut :
p
|
q
|
r
|
|
 |
 |
B
|
B
|
B
|
 B |
 B |
B |
B
|
B
|
S
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
B
|
S
|
B
|
B
|
B
|
S
|
S
|
 S |
 B |
 S |
S
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
S
|
B
|
S
|
B |
S |
B
|
S
|
S
|
B
|
B |
B |
 B |
S
|
S
|
S
|
B
|
B
|
 B |
Pada
tabel tersebut tampak bahwa penarikan kesimpulan dengan metode silogisme
dikatakan sah atau valid.
Contoh :
Tentukan konklusi dari argumen-argumen berikut ini :
1.
Premis
1 : Jika sakit maka ibu minum obat
Premis 2 : Ibu sakit
 |
Konklusinya : Ibu minum obat
2.
Premis
1 : Jika mesinnya rusak maka mobil itu tidak dapat bergerak
Premis 2 : Mobil itu dapat bergerak
 |
Konklusinya : Mesin mobil itu tidak rusak
3.
Premis
1 : Jika BBM naik maka ongkos bis naik
Premis 2 : Jika ongkos bis naik maka uang saku naik
 |
Konklusinya : Jika BBM naik maka uang saku naik
Tugas VII
1.
Tentukan
apakah penarikan kesimpulan berikut sah atau tidak
a.
p q
q
q
 |
p
b. p v q
~ q
|
p
c. p ~q
~q
r q
q |
p ~r
d.
Jika listrik padam maka mesin tidak jalan
Jika mesin tidak jalan maka produksi
berhenti
|
Jika listrik
padam maka produksi berhenti
e.
jika
Jakarta di Jawa Tengah maka Surabaya ibukota Indonesia
Jika
Surabaya ibukota Indonesia maka Bengawan Solo di Banten
 |
Jika Bengawan Solo tidak ada di Banten maka
Jakarta tidak ada di Jawa Tengah
2.
Tentukan
kesimpulannya
a.
Jika
makan rujak maka Ani sakit perut
Ani makan
rujak
b. Jika PSIS
menang maka panser biru senang
Jika panser
biru senang maka Semarang ramai
c. Jika Inul
bernyanyi maka penonton bergoyang
Penonton tidak
bergoyang
BAB
III PENUTUP
Setelah menyelesaikan modul
ini, anda berhak untuk mengikuti tes untuk menguji kompetensi yang telah anda
pelajari. Apabila anda dinyatakan memenuhi syarat ketuntasan dari hasil
evaluasi dalam modul ini, maka anda berhak untuk melanjutkan ke topik/modul
berikutnya.
.jpg)
.jpg)
0 komentar:
Posting Komentar